Математика примеры решения задач, выполнение контрольных, курсовых работ

Башенный кран

Математика
Линии и поверхности уровня
Вычислить частные производные функции 
Найти локальные экстремумы функции
Криволинейные интегралы
Формула Грина-Остроградского
Определить ранг матрицы
Решение произвольных систем линейных уравнений
Линейное (векторное) пространство
Найти предел
Исследование функций с помощью производной
Производная по направлению
Линейные уравнения первого порядка.
Неопределенный и определенный интегралы
Найти интеграл
Вычислить несобственный интеграл
Вычисление площади плоской фигуры
Исследовать на сходимость ряд
 

Криволинейные интегралы

Интегралы, которые мы рассматривали до сих пор, имели своими областями либо отрезки на прямой, либо некоторые области на плоскости и в пространстве.

Теперь рассмотрим случай, когда областью интегрирования является кривая, расположенная в плоскости. Затем все рассуждения можно перенести на случай кривой в пространстве.

Рассмотрение криволинейных интегралов расширяет возможности приложений математического анализа и решения задач физики и техники (и в самой математике – в теории поля и в ТФКП).

Существует два типа криволинейных интегралов. Начнем с рассмотрения криволинейного интеграла, который строится по аналогии с обыкновенным определенным интегралом.

§1. Криволинейные интегралы I типа

Определение и свойства криволинейного интеграла I типа

Пусть функция z=f(M) определена вдоль некоторой кривой L, лежащей в плоскости XOY, то есть любой точке MÎL соответствует f(M). Пусть y=j(x) - уравнение кривой L, где j(x) - непрерывно-дифференцируемая функция. Тогда кривая L будет гладкой и спрямляемой. A, B- концы кривой L. Разобьем кривую произвольным образом на n частей точками A=M0, M1,…, Mn=B. На каждой частичной дуге   выберем произвольно точку . Составим сумму

, (1)

где  - длина дуги .

Эта сумма называется интегральной суммой для функции z=f(M), заданной на кривой L. Обозначим .

Определение. Если существует конечный предел при l®0 интегральной суммы (1), не зависящий ни от способа разбиения кривой L на части, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом I типа (или криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f(M) по кривой L и обозначается  или .

Функция f(M) называется интегрируемой вдоль кривой L.

Свойства криволинейного интеграла I типа

1º. Величина криволинейного интеграла не зависит от направления интегрирования:

(это объясняется тем, что при составлении интегральной суммы (1) нумерация точек разбиения может быть произведена и в обратном порядке: от В к А, это ничего не меняет).

2º. (Аддитивность)

 .

3º. (Линейность)

.

2. Задача о площади цилиндрической поверхности

Как известно, определенный интеграл  геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью  и прямыми x=a, x=b. Если f(x)£0, площадь надо взять со знаком «-». Аналогично можно прийти к геометрическому смыслу криволинейного интеграла I типа.

Пусть в плоскости  дана спрямляемая кривая L=АВ, на которой определена функция f(M)³0. Тогда точки (M; f(M)) образуют некоторую кривую, которая лежит на цилиндрической поверхности с направляющей L и образующей, параллельной .

Задача. Определить площадь  части цилиндрической поверхности, которая ограничена сверху кривой z=f(M), снизу – кривой L, с боков – прямыми AA¢ и BB¢.

Для решения этой задачи разобьем кривую  произвольно точками A=M0, M1,…, Mn=B на n частей. На каждой частичной дуге   выберем произвольно точку . Из каждой точки дробления  проведем прямые, параллельные оси . Поверхность разобьется на n полосок . Каждую такую полоску заменим прямоугольником с основанием = и высотой . Площадь ее . Тогда

. (2)

Равенство (2) тем точнее, чем мельче разбиение кривой L на части. Пусть . Тогда переходя к  в (2), получим точное равенство:

.

Геометрический смысл криволинейного интеграла I типа

Из определения криволинейного интеграла I типа и этой задачи следует, что криволинейный интеграл  при f(M)³0 численно равен площади участка цилиндрической поверхности с образующей, параллельной Oz, который снизу ограничен контурами интегрирования L=AB, а сверху - кривой z=f(M).

Если  , то ,

где  - длина самого контура интегрирования L.

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла I типа можно вычислить площадь цилиндрической поверхности и длину дуги.

Наибольшее и наименьшее значение функции Если функция  дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в граничной точке области.

Задача о массе кривой Рассмотрим физическую задачу, которая приводит к понятию криволинейного интеграла I типа.

Криволинейные интегралы II типа Задача о работе плоского силового поля

Математика