Математика примеры решения задач, выполнение контрольных, курсовых работ

Математика
Линии и поверхности уровня
Вычислить частные производные функции 
Найти локальные экстремумы функции
Криволинейные интегралы
Формула Грина-Остроградского
Определить ранг матрицы
Решение произвольных систем линейных уравнений
Линейное (векторное) пространство
Найти предел
Исследование функций с помощью производной
Производная по направлению
Линейные уравнения первого порядка.
Неопределенный и определенный интегралы
Найти интеграл
Вычислить несобственный интеграл
Вычисление площади плоской фигуры
Исследовать на сходимость ряд
 

Формула Грина-Остроградского связывает двойной интеграл по области (P) с криволинейным интегралом по границе (L) этой области.

I. Пусть область (P) ограничена контуром (L), состоящим из непрерывных кривых y=j1(x), y=j2(x), j1(x)£j2(x) "xÎ[a;b] и отрезков прямых x=a, x=b, a<b, то есть (P) - простая область I типа: (PI)

Если функция P(x;y) вместе с  непрерывна на замкнутой простой области (PI), то справедлива формула

, (1)

где интегрирование по контуру берется в положительном направлении.

Доказательство.

.

Формула(1) справедлива и для более сложных областей, которые можно разбить на конечное число областей I типа. Покажем это на следующем примере. [an error occurred while processing this directive]

Пусть область  ограничена контуром (L). , где  - простые области I типа. Обозначим  - контуры этих областей. Пусть   - части, на которые разбит контур (L).

, , .

К каждой из областей  применима формула (1).

,

,.

Сложив эти равенства, учитывая, что , получим формулу (1).

II. Пусть область (P) ограничена кривой (L), состоящей из непрерывных кривых x=y1(y), x=y2(y), y1(y)£y2(y) "yÎ[c;d] и отрезками прямых y=c, y=d (c<d). То есть (P) - простая область II типа: (PII).

Если функция  непрерывна на замкнутой области (PII), то справедлива формула

. (2)

Криволинейный интеграл в (2) берется в положительном направлении. Доказательство (2) аналогично доказательству формулы (1). Формула (2) справедлива и для более сложных областей, которые можно разбить на конечное число областей II типа.

III. Область (P) называется простой , если она одновременно является областью (PI) и (PII). Очевидно, любая прямая, параллельная осям координат, пересекает простую область не более, чем в двух точках.

Пусть (P) - простая область, (L) - ее контур. Тогда для этой области справедливы одновременно равенства (1) и (2). Вычитая (1) из (2) получим

. (3)

Из вышесказанного следует, что формула (3) справедлива и для области, которая может быть представлена в виде конечного числа простых областей. Итак, доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть (P) - простая область (или область, представимая в виде конечного числа простых областей). Тогда если P(x;y) и Q(x;y) непрерывны вместе с частными производными  и  на замкнутой области (P), то справедлива формула (3).

Формула (3) называется формулой Грина – Остроградского. Ее можно доказать и для более общего случая: она справедлива и для области, которая ограничена одной или несколькими кусочно-гладкими кривыми.

Пример 1. С помощью формулы Грина – Остроградского вычислить криволинейный интеграл:

а) ,

б) ,

где (L) - контур треугольника с вершинами A(1;1), B(2;2), C(1;3).

Δ а) , ,

.

(AB): y=x, (BC): , x-2=2-y, y=4-x.

.

б) P(x;y)=2ex-y, Q(x;y)=yex, , ,

. D

Пример 2. С помощью формулы Грина вычислить интеграл

, .

D (L): x2+y2-4y+4=4, x2+(y-2)2=4,

P(x;y)=exsiny-y, ,

Q(x;y)=excosy-1, ,

 .

Или . D

6. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла

Пусть для области  с границей (L) справедлива формула Грина (3):

.

Полагая в (3) Q(x;y)=x, P(x;y)=0, получим

. (4)

Полагая в (3) Q(x;y)=0, P(x;y)=-y, получим

. (5)

Складывая (4) и (5) и деля на 2, получим

. (6)

Для вычисления площади  можно использовать любую из формул (4)-(6). Наиболее удобна последняя.

Пример 1. Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

t

0

x

a

a

-

-3a

-

a

a

y

0

2a

0

-2a

0

,

ABCDE: tÎ[0;p],

EA: y=0, dy=0 Þ .

Следовательно,

.

.

Существование и вычисление криволинейных интегралов II типа

Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования Пример. Вычислить   вдоль кривой: 1) y=x, 2) y=x2, 3) y=x3.

Математика