Математика примеры решения задач, выполнение контрольных, курсовых работ

Математика
Линии и поверхности уровня
Вычислить частные производные функции 
Найти локальные экстремумы функции
Криволинейные интегралы
Формула Грина-Остроградского
Определить ранг матрицы
Решение произвольных систем линейных уравнений
Линейное (векторное) пространство
Найти предел
Исследование функций с помощью производной
Производная по направлению
Линейные уравнения первого порядка.
Неопределенный и определенный интегралы
Найти интеграл
Вычислить несобственный интеграл
Вычисление площади плоской фигуры
Исследовать на сходимость ряд
 

Линии и поверхности уровня

 В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое представление о характере изменения функции, рассматривая ее линии уровня (или поверхности уровня ), то есть линии (поверхности), где данная функция сохраняет постоянное значение.

 Определение. Линией уровня функции  называется множество всех точек плоскости , для которых данная функция имеет одно и то же значение:

 Пример. Для функции  линиями уровня является семейство концентрических окружностей   с центром в точке .

 Определение. Поверхностью уровня функции  называется множество всех точек пространства , для которых данная функция имеет одно и то же значение.

 Линии и поверхности уровня постоянно встречаются в физических вопросах. Например, соединив на карте поверхности Земли точки с одинаковой средней суточной температурой или с одинаковым средним суточным давлением, получим соответственно изотермы и изобары, важные для прогноза погоды.

 3. ЧАСТНОЕ И ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ

 Пусть - функция двух независимых переменных и . Дадим переменной  приращение , оставляя

переменную  неизменной, тогда разность

  

называется частным приращением функции  по переменной .

 Аналогично, если  сохраняет постоянное значение, а  получает приращение , функция получает приращение, называемое частным приращением функции  по переменной : .

 Если обе переменные  и  получили соответственно приращения  и , тогда соответствующее приращение функции: 

 

называется полным приращением функции .

 Заметим, что полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений этой функции .

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

 Определение. Окрестностью радиуса  точки  называется совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству , то есть точки, лежащие внутри круга радиуса , с центром в точке

 Пусть дана функция , определенная в некоторой точке  плоскости . Пусть точка  лежит в области или на ее границе.

 Определение. Число  называется пределом функции  при стремлении точки  к точке , если для каждого числа  найдется такое число , что для

всех точек  из окрестности радиуса  точки

выполняется неравенство  

 Если число  является пределом функции  при стремлении точки  к точке , то пишут

 Заметим, что предел функции двух переменных не должен зависеть от того, по какой линии точка  стремится к точке .

 Примеры.

 1.Вычислить предел  Решение. Представим

функцию в виде  Так как

 при , то

Далее,  Поэтому искомый предел равен * 

 2.Вычислить  Решение. Перейдем к полярным координатам  Центр полярной системы находится в точке , полярная ось параллельна . При стремлении  полярный радиус   В нашем примере , поэтому

 Тогда 

 

 3. Существует ли предел ? Решение. Пусть точка  стремится к точке  по прямой , проходящей через точку . Тогда получим Таким образом, приближаясь к точке  по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке  не существует.

 4. Вычислить предел  Решение. Перейдем к полярной системе координат 

 

Так как значение предела зависит от , то при подходе к точке (0,0) по разным направлениям получаются различные предельные значения. Следовательно, функция в этой точке не имеет предела.

 Задачи и упражнения для самостоятельной работы 

Вычислить пределы:

а)  б)   в)  ;

г)  д)   е)  

 ж)  з)  

Ответ: . а); б)2; в); г) 0; д) 0; е)0; ж)0; з)1.

Докажите, что следующие пределы не существуют:

 а) б) в)

 Определение. Пусть точка  принадлежит области определения функции . Функция  называется непрерывной в точке , если имеет место равенство  причем точка  стремится к точке  произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

 Из определения следует, что для непрерывности функции в точке должны быть выполнены следующие условия:

функция  определена в точке ;

существует предел ;

предел равен значению функции в точке .

Если в некоторой точке не выполняется хотя бы одно из

условий (1-3), то точка называется точкой разрыва функции .

 Приведем еще одно определение непрерывности функции в точке:

 Определение. Функция  называется непрерывной в точке , если :

 1)функция определена в этой точке;

 2)бесконечно малым приращениям  соответствует бесконечно малое приращение

Во многих вопросах геометрии, естествознания и т.д. приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных. Пример. Решая уравнение сферы  относительно  при , получим , то есть - функция двух переменных. Определена эта функция в круге

Примеры. Исследовать непрерывность функции . Решение. Найдем полное приращение функции 

Частные производные функции нескольких переменных Найти частные производные функций: .

Математика