Математика примеры решения задач, выполнение контрольных, курсовых работ

Математика
Линии и поверхности уровня
Вычислить частные производные функции 
Найти локальные экстремумы функции
Криволинейные интегралы
Формула Грина-Остроградского
Определить ранг матрицы
Решение произвольных систем линейных уравнений
Линейное (векторное) пространство
Найти предел
Исследование функций с помощью производной
Производная по направлению
Линейные уравнения первого порядка.
Неопределенный и определенный интегралы
Найти интеграл
Вычислить несобственный интеграл
Вычисление площади плоской фигуры
Исследовать на сходимость ряд
 

Производная по направлению

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

 Проведем через точки М и М1 вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

 Расстояние между точками М и М1 на векторе  обозначим DS.

 

 Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

 z

 M 

 

 

 M1

 

 

 y

 x

 Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

где величины e1, e2, e3 – бесконечно малые при .

 Из геометрических соображений очевидно:

 Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

 Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

 Из этого уравнения следует следующее определение:

 Определение: Предел  называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора  в точке с координатами ( x, y, z).

 Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ; cosb = -

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Градиент

 Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

,

то этот вектор называется градиентом функции u.

 При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

Связь градиента с производной по направлению

 Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

.

Тогда производная  по направлению некоторого вектора  равняется проекции вектора gradu на вектор .

 Доказательство: Рассмотрим единичный вектор  и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов  и gradu.

 Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

 Т.е. . Если угол между векторами gradu и  обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор   единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

 Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора gradu на вектор .

 Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения  некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

 С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям

Большинство законов природы имеют дифференциальный характер – они связывают бесконечно малые изменения рассматриваемых величин. Например, основной закон динамики

связывает бесконечно малое изменение импульса dp с силой F, действующей в течении бесконечно малого интервала времени dt. Можно сказать, что сила – это скорость изменения импульса:

.

В последнем соотношении производная вектора вычисляется как вектор из производных:

.

Вывод интегральных соотношений (соотношений, связывающих конечные изменения величин) на основании дифференциальных законов выполняется на основе результатов теории дифференциальных уравнений.

Исследовать функцию  и построить ее график.

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1, 1, 1).

Математика