Математика примеры решения задач, выполнение контрольных, курсовых работ

Математика
Линии и поверхности уровня
Вычислить частные производные функции 
Найти локальные экстремумы функции
Криволинейные интегралы
Формула Грина-Остроградского
Определить ранг матрицы
Решение произвольных систем линейных уравнений
Линейное (векторное) пространство
Найти предел
Исследование функций с помощью производной
Производная по направлению
Линейные уравнения первого порядка.
Неопределенный и определенный интегралы
Найти интеграл
Вычислить несобственный интеграл
Вычисление площади плоской фигуры
Исследовать на сходимость ряд
 

Приложения определенного интеграла

Вычисление площади плоской фигуры

Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , снизу отрезком  оси , справа и слева прямыми  и  (рисунок 6), находится по формуле

. (30)

Рисунок 6 – Криволинейная трапеция

Рисунок 7 – Фигура, ограниченная линиями , ,

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси , то есть  (рисунок 7), то площадь может быть найдена по формуле

. (31)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми  и  ( для любого ), прямыми  и  (рисунок 8), можно найти по формуле

 . (32)

Если криволинейная трапеция ограничена справа непрерывной кривой , слева отрезком  оси , снизу и сверху прямыми   и  (рисунок 9), то ее площадь находится по формуле

. (33)

Рисунок 8 – Фигура, ограниченная линиями , ,  и

Рисунок 9 – Криволинейная трапеция, расположенная относительно оси

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями

,

то ее площадь находится по формуле

. (34)

Пример 49. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,  (рисунок 10).

Рисунок 10 – Криволинейная трапеция

Решение. Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, воспользуемся формулой :

 (кв.ед.).

Пример 50. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и  (рисунок 11).

Рисунок 11 – Изображение плоской фигуры, ограниченной линиями и

Решение. Найдем точки пересечения данных кривых

Таким образом, точки пересечения  и .

Фигура, ограниченная параболами  и , симметрична относительно оси , поэтому достаточно вычислить половину площади данной фигуры и полученный результат умножить на 2. Для нахождения площади воспользуемся формулой :

 (кв.ед.).

Пример 51. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом ,  (рисунок 12).

Рисунок 12 – Эллипс

Решение. Найдем площадь  области, и полученный результат умножим на 4.

Воспользуемся формулой . Так как значение  изменяется от 0 до , то  значение изменяется от  до , тогда

(кв.ед.).

Площадь криволинейного сектора Область, ограниченная непрерывной линией  и двумя лучами  и , где  и  – полярные координаты, называется криволинейным сектором

Пример. Найти длину дуги кривой , заключенной между лучами  и .

Задача 5. Вычислить . Решение. Выполним замену переменной

купить женскую обувь на широкую ногу.
Математика