Математика примеры решения задач, выполнение контрольных, курсовых работ

еще

Математика
Линии и поверхности уровня
Вычислить частные производные функции 
Найти локальные экстремумы функции
Криволинейные интегралы
Формула Грина-Остроградского
Определить ранг матрицы
Решение произвольных систем линейных уравнений
Линейное (векторное) пространство
Найти предел
Исследование функций с помощью производной
Производная по направлению
Линейные уравнения первого порядка.
Неопределенный и определенный интегралы
Найти интеграл
Вычислить несобственный интеграл
Вычисление площади плоской фигуры
Исследовать на сходимость ряд
 

Пример. Вычислить частные производные функции 

 Решение.

=

=

 Если функция , где функции  зависят от одного аргумента :  тогда функция  фактически зависит от одной переменной и можно находить полную производную :

 ,

но , а функции   зависят от одного аргумента , то частные производные обращаются в обыкновенные

 .

12.ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

 Пусть . Найдем полный дифференциал сложной функции:

 , но ,

 , поэтому

 

 

или .

Мы показали, что выражения полного дифференциала

функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) имеют одинаковый вид, если  - независимые переменные или функции независимых переменных. Это свойство первого дифференциала называется инвариантностью формы первого дифференциала.

13.ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО

 Теорема. Пусть непрерывная функция  от  задается неявно уравнением , где - непрерывные функции в некоторой области, содержащей точку , координаты которой удовлетворяют уравнению , кроме того, Тогда

  

 Доказательство. Дадим приращение , тогда  получит приращение  и . Тогда

 ,

следовательно, 

Переходя к пределу при  получим

 .

 Пример. Найти производную функции , заданной неявно уравнением .

 Решение. Обозначим . Вычислим частные производные , тогда

 Рассмотрим уравнение вида . Если каждой паре чисел  из некоторой области соответствует одно или несколько значений , удовлетворяющих уравнению. Тогда это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций  от , частные производные неявной функции имеют вид:

  при .

14.ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

 Пусть . Частные производные  являются функциями от переменных . В некоторых случаях для этих функций снова существуют частные производные, называемые частными производными второго порядка:

 

 - смешанные производные второго порядка.

 Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . Получим частные производные третьего порядка

 

Частная производная го порядка  получается, если

функцию  раз продифференцировать по переменной ,

 а затем  раз по .

Рассмотрим электрическое поле точечного заряда , помещенного в начале координат:

 Подобно тому, как дифференциал функции одной переменной является приращением ординаты касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

Математика